所有的歐拉公式

分式里的歐拉公式
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的證明：
因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……
在e＾x的展開式中把x換成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=〒i,(±i)^4=1……（注意：其中”〒”表示”減加”）
e^±ix=1±x/1！-x^2/2！+x^3/3!〒x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
將公式里的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^iπ+1=0.這個恒等式也叫做歐拉公式
三角形中的歐拉公式
設r為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則：d＾2=r＾2-2rr
拓撲學里的歐拉公式
v+f-e=x(p)，v是多面體p的頂點個數(shù)，f是多面體p的面數(shù)，e是多面體p的棱的條數(shù),x(p)是多面體p的歐拉示性數(shù)。
如果p可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上），那么x(p)=2，如果p同胚于一個接有h個環(huán)柄的球面，那么x(p)=2-2h。
x(p)叫做p的歐拉示性數(shù)，是拓撲不變量，就是無論再怎么經過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的范圍。
在多面體中的運用:
簡單多面體的頂點數(shù)v、面數(shù)f及棱數(shù)e間有關系
v+f-e=2
這個公式叫歐拉公式
初等數(shù)論里的歐拉公式
歐拉φ函數(shù)：φ(n)是所有小于n的正整數(shù)里，和n互素的整數(shù)的個數(shù)。n是一個正整數(shù)。
歐拉證明了下面這個式子：
如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數(shù)，而且兩兩不等。則有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以證明它。
此外還有很多著名定理都以歐拉的名字命名。
(6)立體圖形里的歐拉公式：
面數(shù)+頂點數(shù)—2=棱數(shù)